Vergleich: gleichförmige Kreisbewegung - lineare Bewegung
Die folgende Darstellung zeigt für die gleichförmige Kreisbewegung bzw.
die gleichförmige, lineare Bewegung des roten
Punktes jeweils den Ort, an dem er zu verschiedenen
ausgewählten Zeitpunkten ist (eine Art Stroboskopaufnahme).
Der
bereits zurückgelegte Winkel bzw.
Weg ist blau gezeichnet, der noch zurückzulegende Winkel
bzw. Weg ist grau eingefärbt.
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Kreisbewegung |
lineare Bewegung |
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Wegstrecken :
In der doppelten Zeit legt der Punkt die doppelte
Wegstrecke auf dem Kreisbogen zurück.
Der Betrag der
Bahngeschwindigkeit ist konstant. |
Wegstrecken :
In der doppelten Zeit legt der Punkt die doppelte
Wegstrecke auf der Bahn zurück.
Der Betrag der
Geschwindigkeit ist konstant. |
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In gleichen Zeitintervallen (jeweils ein Bildwechsel)
werden gleiche Wegstrecken auf dem Kreisbogen
zurückgelegt.
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In gleichen Zeitintervallen (jeweils ein Bildwechsel)
werden gleiche Wegstrecken zurückgelegt.
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Winkel :
In der doppelten Zeit überstreicht der Verbindungsstrahl
Punkt- Mittelpunkt den doppelten Winkel.
In
gleichen Zeitintervallen (jeweils ein Bildwechsel) werden
gleiche Winkel (hier jeweils 30 Grad) überstrichen.
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Was ist an dieser Darstellung anders?
Die Darstellung läuft schneller ab, die Zeitintervalle 
sind also kürzer.
Die
Geschwindigkeit der linearen Bewegung und die Bahngeschwindigkeit der
Kreisbewegung werden dadurch größer.
Auch die jeweiligen
Winkelsegmente werden schneller überstrichen, man sagt, die
Winkelgeschwindigkeit wird größer.
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Kreisbewegung |
lineare Bewegung |
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In jedem Zeitintervall kommt der Punkt auf der
Kreisbogenbahn um eine Strecke  voran.
Man nennt den Quotienten:
die Bahngeschwindigkeit der Kreisbewegung. |
In jedem Zeitintervall kommt der Punkt auf der
Bahn um eine Strecke
voran.
Man nennt den Quotienten:
die Geschwindigkeit der linearen Bewegung.
Die Einheit der Geschwindigkeit ist 1 m / s |
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Parallel dazu nennt man den Quotienten aus überstrichenem Winkel
und dazu nötiger Zeit:
die Winkelgeschwindigkeit der Kreisbewegung.
Das
Symbol ist der kleine griechische Buchstabe 'Omega'.
Die Einheit der Winkelgeschwindigkeit ist 1 Grad / s oder auch 1
/ s. |
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Verwandt heißt noch lange nicht gleich!
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Damit hat die Winkelgeschwindigkeit dieselbe Einheit wie
die (Dreh-)frequenz f, also 1/s oder Hz.
Beide Größen
haben also miteinander zu tun, sind aber nicht
dasselbe! |
Überlegen wir dazu weiter:
Nehmen wir an, das Winkelsegment sei 30
o, dann ist es gerade 1/12 der Gesamtwinkels von 360 o
Damit hat auch das Streckensegment gerade 1/12 der
Länge des gesamten Kreisumfangs
U.
Ist die Bahngeschwindigkeit konstant, benötigt ein Teilchen also zum
Zurücklegen des Streckenelements gerade die Zeit , das ist hier 1/12 der gesamten
Umlaufzeit T.
Es gilt also für die Bahngeschwindigkeit:
Da auch die Winkelgeschwindigkeit konstant ist, gilt für die Winkel
entsprechend:
Zum Überstreichen des Winkelsegments braucht der Verbindungsstrahl
die Zeit , dies ist hier
gerade 1/12 der Zeit, die er zum Überstreichen des Gesamtwinkels benötigt. (Der Gesamtwinkel
wird üblicherweise im Bogenmaß angegeben).
Ein Vergleich der beiden Gleichung zeigt die wichtigen Beziehungen:
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und |
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... was ist denn nun konstant?
Da sich der ganze Kreis mit derselben Frequenz dreht - also die
Umlaufzeit T fest liegt - ist auch für alle Punkte auf dem Kreis die
Winkelgeschwindigkeit gleich groß !
Jedoch ist deren Bahngeschwindigkeit verschieden
:
Je weiter sie vom Kreismittelpunkt entfernt sind - je größer also
der Radius r ist - desto länger wird auch der Weg (Kreisumfang), den sie
in der Zeit T zurücklegen müssen.
Die Bahngeschwindigkeit muß weiter
außen also größer sein.
Das sieht man ja auch an der Formel, denn v
ist proportional zu r : Doppelt so großer Abstand vom Mittelpunkt r
bedeutet also doppelt so große Bahngeschwindigkeit v.
Die Winkelgeschwindigkeit ist daher die geeignetere Größe um eine
Kreisbewegung zu beschreiben.
Grüninger, Landesbildungsserver